Intégration numérique

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Soit $f : & [a,b] & \longrightarrow & \mathbb{R}$

Il s’agit de calculer :

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x$

Les méthodes d’intégration numérique sont basées sur le calcul de valeurs approchées de l’intégrale sur différents intervalles $[x_k, x_{k+1}]$ tels que $a=x_0<x_1<…x_k<…<x_n=b$.

Ainsi : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x) \, \mathrm{d}x$

Méthodes de quadrature élémentaire

Méthodes des rectangles

Méthode des rectangles à gauche

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(x_k)$

Méthode des rectangles à droite

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(x_{k+1})$

Méthode du point milieu

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2})$

Méthodes par interpolation

Méthode des trapèzes

Interpolation linéaire :

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}$

Aperçu des principales méthodes

Activité Scilab

Implémenter avec le langage Scilab les méthodes présentées plus haut.

Ressources :

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