Intégration numérique

Soit \(f :  [a,b]  \longrightarrow  \mathbb{R}\)

Il s’agit de calculer :

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\)

Les méthodes d’intégration numérique sont basées sur le calcul de valeurs approchées de l’intégrale sur différents intervalles \([x_k, x_{k+1}]\) tels que \(a=x_0<x_1<…x_k<…<x_n=b\).

Ainsi : \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x) \, \mathrm{d}x\)

Méthodes de quadrature élémentaire

Méthodes des rectangles

Méthode des rectangles à gauche

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(x_k)\)

Méthode des rectangles à droite

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(x_{k+1})\)

Méthode du point milieu

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2})\)

Méthodes par interpolation

Méthode des trapèzes

Interpolation linéaire :

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}\)

Aperçu des principales méthodes

Activité Scilab

Implémenter avec le langage Scilab les méthodes présentées plus haut.

Ressources :

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