Représentation des nombres entiers naturels

Code binaire naturel

Les nombres entiers naturels sont représentés par le code binaire naturel qui utilise l’expression naturelle du nombre en base 2 (système de numération binaire) :

 

  23 22 21 20
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1

Codage binaire naturel des 10 chiffres de la base 10 :

On dit que ce code est un code pondéré : le ième bit (en partant de la droite) « pèse » 2i-1.

 

Pour un nombre entier naturel (positif), on peut présenter son écriture binaire dans un tableau faisant apparaitre les puissances successives de 2 (la plus grande puissance de 2 doit être juste inférieure au nombre à coder)

  26 25 24 23 22 21 20
  64 32 16 8 4 2 1
8710 1 0 1 0 1 1 1

 

 

 

 

 

 

Méthode de conversion

On peut bien sûr utiliser un logiciel, comme pyLogyc ou le site dCode par exemple, ou encore la calculatrice de Windows.

Sinon, voici une méthode "manuelle" simple :

  1. Réaliser la division euclidienne du nombre à coder par 2, mettre le reste à droite dans le tableau.
  2. Recommencer la division par 2 avec le quotient à gauche du chiffre binaire précédent.
  3. Continuer jusqu'à ce que le quotient ne soit plus divisible par 2.

56310 = 10001100112

Activité

Utiliser la méthode précédente pour convertir en écriture binaire naturelle les entiers 89 et 142.

 

Opérations arithmétiques

Cette représentation, parce que similaire à la représentation naturelle des nombres en base 10, permet d'effectuer simplement des opérations arithmétiques.

Addition binaire

\(\begin{matrix}
 & & 1 & 0 & 1 & 1 & 0& 0 & 0\\
+ & & 0 & 1& 1& 1& 1& 0& 1\\
\hline
 & 1 & 0 &0 &1& 0& 1& 0 &1
\end{matrix}\)

 

Activité

Réaliser les additions binaires suivantes (vérifier en décimal) :

  • \(\begin{matrix}
     &  &  &0&1&0&0&0&1\\
    + &  & 1 & 1 & 0&1&0&1&1\\
    \hline
     & & & && & &  &
    \end{matrix}\)
  • \(\begin{matrix}
     & & 1 &1 & 1 & 1 & 0& 0 & 0\\
    + & 1& 1 & 0& 1& 1& 0& 1& 1\\
    \hline
     & &  & && & &  &
    \end{matrix}\)
  • \(\begin{matrix}
     & & 1 & 0 & 0 & 0 & 0& 1 & 1\\
    + & & 1 & 1& 0& 1& 1& 1& 0\\
    \hline
     & &  & && & &  &
    \end{matrix}\)

 

Soustraction binaire

...

 

 

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