Parcours d’un graphe

Parcourir un graphe consiste à visiter ses sommets, en suivant les arêtes qui les relient…

Pour les algorithmes de cet article, nous utiliserons la classe suivante :

Classe Graphe
class Graphe:
    """ """
    def __init__(self, oriente = True):
        self.A = {}                # Dictionnaire d'adjacence
        self.oriente = oriente     # Graphe orienté ou pas

    def __repr__(self):
        return str(self.A)

    def ajouter_sommet(self, x):
        if not x in self.A:
            self.A[x] = set()

    def ajouter_arete(self, x, y):
        """ Ajoute une arête entre les sommets x et y
        """
        self.ajouter_sommet(x)
        self.ajouter_sommet(y)
        self.A[x].add(y)
        if not self.oriente:
            self.A[y].add(x)

    def voisins(self, x):
        """ Renvoie l'ensemble des voisins du sommet x
        """
        return self.A[x]

    def arete(self, x, y):
        """ Renvoie True s'il existe une arête entre les sommets x et y
        """
        return x in self.A[y]

Et pour les exemples, le graphe suivant :

Télécharger au format PDF : graphe.pdf
Construction d'un graphe
Écrire les instructions permettant d’obtenir une instance du graphe représenté plus haut, à l’aide de la classe Graphe  :

 

 

Parcours en profondeur

Le parcours en profondeur d’un graphe à partir d’un sommet consiste à suivre les arêtes arbitrairement, en marquant les sommets déjà visités pour ne pas les visiter à nouveau.

Exemple : parcours du graphe à partir du sommet A.

     

Les arêtes étant choisies arbitrairement, il faut s’attendre à des visites dans des ordres différents !

 

 

Algorithme

Afin de mémoriser les sommets visités pendant le parcours, on les marque, en les plaçant dans une liste ou un ensemble par exemple.

  • Initialement, on marque le sommet de départ comme « visité »
  • On choisit ensuite arbitrairement une de ses arêtes sortantes
    • Si le sommet voisin n’a pas déjà été visité :
      • on le marque comme « visité »
      • on relance un nouveau parcours à partir de ce sommet
  • on recommence avec son arête sortante suivante …
  • le parcours s’arrête lorsqu’on n’atteint plus aucun sommet non visité.

Exemple :

 

Méthode récursive

Le parcours en profondeur peut être réalisé par récursivité :

  • l’ensemble des sommets déjà visités est stocké dans un objet Python de type ensemble (set).
  • la visite est relancée récursivement pour chaque voisin du sommet visité
def parcours_prof(self, s, vus = None):
    """ Parcours en profondeur à partir du sommet s
        --> vus contient l'ensemble des sommets visités
    """
    if vus is None:
        vus = {}
    if not s in vus:
        vus.add(s)
        for v in self.voisins(s):
            self.parcours_prof(v, vus)
    return vus

 

 

Méthode itérative

En cas de très grand nombre de sommets, la méthode récursive peut vite atteindre sa limite (la profondeur maximale de récursion est par défaut égale à 1000 en Python).

On peut alternativement utiliser une méthode itérative, à l’aide d’une pile.

Parcours en profondeur avec une pile
Écrire pour la classe Graphe une nouvelle méthode parcours_prof_pile(s, vus), qui utilise une pile.

 

Utilisations

Existence d’un chemin

À l’issue du parcours, vus contient l’ensemble des sommets qui ont été visités. On peut ainsi vérifier facilement s’il existe ou pas un chemin menant du sommet de départ vers un autre sommet. En revanche, l’ordre du parcours, donnant le chemin n’est pas mémorisé par ce type de parcours.

Existence d'un chemin
Ajouter à la classe Graphe une méthode existe_chemin(x, y), qui renvoie True si un chemin existe entre les sommets x et y.

 

Présence d’un cycle

Le parcours en profondeur est particulièrement bien adapté à la recherche de cycles dans un graphe.

Le marquage « simple » (tout ou rien) opéré dans l’algorithme précédent ne permet pas de savoir si, lorsqu’on atteint un sommet « visité », il s’agit de la fin d’un parcours.

On utilise donc un marquage à trois niveaux (couleurs) :

  • « blanc » : non visité
  • « gris » : visité une seule fois
  • « noir » : visité deux fois

 

 

Existence d'un cycle
Écrire  pour la classe Graphe une méthode existe_cycle(), qui renvoie True si un le graphe présente un cycle.

 

Parcours en largeur

Dans le parcours en largeur, on visite tous les sommets en « cercle concentriques » autour du sommet de départ : d’abord les sommets à une distance de 1, puis ceux à une distance de 2, … 

 

Algorithme

def parcours_larg(self, s):
    dist = {s : 0}
    cour = {s}
    suiv = set()
    while len(cour) > 0:
        s = cour.pop()
        for v in self.voisins(s):
            if not v in dist:
                suiv.add(v)
                dist[v] = dist[s] + 1
        if len(cour) == 0:
            cour, suiv = suiv, set()
    return dist

 

 

Utilisation

Recherche de chemins

Le parcours en largeur permet d’obtenir le chemin le plus court entre deux sommets du graphe :

On remplace le dictionnaire dist précédent par un autre dictionnaire vusqui associe à chaque sommet visité le sommet qui a permis de l’atteindre (au sommet de départ, on associera la valeur None).

 

Recherche de chemins
Écrire une méthode parcours_larg_chemin(s) qui renvoie le dictionnaire  vus qui doit permettre de « retracer » le parcours en largeur (la structure de cette méthode est très proche de celle de la méthode parcours_larg(s)).

 

Écrire une méthode chemins(x, y) qui utilise la méthode parcours_larg_chemin(s) et renvoie le plus court chemin depuis le sommet x jusqu’au sommet y.

 

 

 

Coloration

La coloration d’un graphe consiste à attribuer une « couleur » à chacun de ses sommets de manière que deux sommets reliés par une arête soient de couleur différente.

On cherche souvent à utiliser le nombre minimal de couleurs, appelé nombre chromatique.

Coloration
Écrire une méthode colorer(s), sous forme récursive, qui colore le graphe à partir du sommet s et renvoie un dictionnaire {sommet : couleur} (en guise de couleurs, on utilisera des entiers).

 

 

Sources :
https://www.editions-ellipses.fr/accueil/10445-20818-specialite-numerique-et-sciences-informatiques-lecons-avec-exercices-corriges-terminale-nouveaux-programmes-9782340038554.html#/1-format_disponible-broche

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