Intégration numérique
Soit \(f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\)
Il s’agit de calculer :
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\)Les méthodes d’intégration numérique sont basées sur le calcul de valeurs approchées de l’intégrale sur différents intervalles \([x_k, x_{k+1}]\) tels que \(a=x_0<x_1<…x_k<…<x_n=b\).
Ainsi : \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x) \, \mathrm{d}x\)
Méthodes de quadrature élémentaire
Méthodes des rectangles
Méthode des rectangles à gauche
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(x_k)\)Méthode des rectangles à droite
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(x_{k+1})\)Méthode du point milieu
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2})\)Méthodes par interpolation
Méthode des trapèzes
Interpolation linéaire :
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}\)Aperçu des principales méthodes
Activité Scilab
Implémenter avec le langage Scilab les méthodes présentées plus haut.
Ressources :
