Récursivité

Un algorithme récursif est un algorithme qui résout un problème en calculant des solutions d’instances plus petites du même problème. L’approche récursive est un des concepts de base en informatique.

Récursivité dans les langages informatique

Les premiers langages de programmation qui ont autorisé l’emploi de la récursivité sont LISP et Algol 60. Depuis, tous les langages de programmation généraux réalisent une implémentation de la récursivité.

On oppose généralement les algorithmes récursifs aux algorithmes itératifs qui s’exécutent sans appeler explicitement l’algorithme lui-même. Ils utilisent plutôt des boucles pour et des boucles tant que, pour répéter des opérations.

Fonctions récursives

Une fonction est qualifiée de récursive si elle s’appelle elle-même.

Par exemple, cette fonction qui permet de calculer \(x^y\) (\(y\) étant supposé > 0) :

def puissance(x, y):
   if y > 0 :                        # Si y > 0 alors …
      return x * puissance(x, y-1)   # auto appel de la fonction
   else :                            # Sinon …
      return 1                       # Arrêt de la récursion

print(puissance(3,8))


 

 

Structure

Toute fonction récursive doit avoir, grâce à une structure conditionnelle, une condition pour laquelle elle ne s’appelle pas elle-même. Sans cela, elle ne s’arrêterait jamais !

Cette condition s’appelle le cas de base.

Dans l’exemple précédent, le cas de base est la condition y <= 0 .

En pratique Python prévoit une profondeur de récursion maximum (par défaut 1000, mais modifiable), mais l’atteindre provoque une erreur, et surtout témoigne souvent d’une faute de programmation.

 

 

Il existe toujours une façon non récursive de réaliser une fonction donnée.

Écrire une fonction sous forme récursive est souvent plus naturel. En revanche, les grandes profondeurs de récursion peuvent solliciter fortement la mémoire et rendre son exécution plus lente.

 

Exercices

Écrire sous forme récursive la fonction : \(factorielle:x \rightarrow x!\)
Calculer l’ordre de complexité de cet algorithme.

 

Proposer un algorithme récursif de calcul de la somme de deux entiers naturels a  et b  en supposant que les seules opérations de base disponibles sont :

  • l’ajout de 1 à un entier : a+= 1
  • le retrait de 1 à un entier : a-=1
  • les comparaisons à 0 d’un entier : a==0a>0  et a<0
Comment étendre cette fonction aux entiers relatifs ?

 

Un palindrome est un mot dont les lettres lues de gauche à droite sont les mêmes que celles lues de droite à gauche.

Exemple : les mots « radar » , « elle » , « été » , « ici »  sont des palindromes.

Réaliser une fonction, selon un algorithme récursif, qui teste si un mot est un palindrome ou non.
Identifier la ligne traitant le cas de base de cette fonction.
Calculer l’ordre de la complexité temporelle de cet algorithme et comparer avec une méthode itérative.
Calculer l’ordre de la complexité spatiale de cet algorithme et comparer avec une méthode itérative.

 

 

 

Sources :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_récursif

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